Dạy trẻ con ở Mỹ, phần 0

Thỉnh thoảng người quen của tôi có yêu cầu trao đổi và hỏi ý kiến về giáo dục cho trẻ con ở Mỹ. Tôi thường từ chối bằng một câu nói vui học được của một đồng nghiệp:

“Hai mươi năm trước tôi không có con và có 5 lý thuyết giáo dục. Nay tôi có 4 đứa con và không có lý thuyết giáo dục nào!”.

Tuy vậy vì đang có hai con trai nhỏ nên tôi cũng rất quan tâm đến việc giáo dục trẻ con, và cũng hay nói chuyện với những người có kinh nghiệm hơn về vấn đề này. Tôi cũng dự định từ lâu là sẽ chia sẻ lại những trải nghiệm và quan sát của mình (một nguyên nhân chính cho việc bắt đầu blog này). Không phải để dạy ai, vì bản thân tôi cũng đang học cách dạy con. Mà để tổng kết lại, chủ yếu cho bản thân, nếu nhỡ đâu có ai khác cũng có lợi từ nó thì càng hay.

Vừa hay hôm trước có một người quen là nhà báo gửi cho vài câu hỏi về giáo dục Mỹ. Vì những lí do nêu trên tôi đề nghị không xuất hiện trên báo, nhưng để người đó không hoàn toàn mất công tôi cũng trả lời các câu hỏi đó ở đây, vừa là để mở đầu chuỗi bài này (bài báo đó đã xuất hiện cùng thời điểm).

1) Có phải cách mà nhà trường của Mỹ đang làm đã giúp cho trẻ sớm định hình suy nghĩ độc lập, từ đó hình thành được trong các cháu từ rất sớm ý thức phản biện? Long có thể nêu ra một vài dẫn chứng nếu đồng ý với điều này?

Trả lời: Nói về nhà trường Mỹ rất khó, vì đó là một hệ thống rất phức tạp và phân hóa khá cao. Kinh nghiệm bản thân tôi chủ yếu đến từ quan sát trong môi trường của tầng lớp trung lưu và có bằng cấp. Tuy nhiên về cơ bản câu trả lời là đúng, trẻ em bên này được dạy độc lập rất sớm. Thật ra, theo quan sát của tôi, vì các gia đình đã rất có ý thức về việc này, cộng thêm sự tổ chức khá tốt, nên việc dạy những kỹ năng độc lập này không quá khó đối với các giáo viên. Chẳng hạn trong các lớp ở trường của con trai tôi, họ tìm cách rải đều các cỡ tuổi. Nhờ vậy các cháu bé mới vào có thể quan sát và học từ các cháu lớn hơn (đến khoảng 5 tuổi là các cháu đã rất độc lập) các việc như tự đi giày dép, treo quần áo, đi vệ sinh, giúp cô giáo các việc nhỏ trong lớp như dọn bàn ăn, đổ rác, v.v.

Về ý thức phản biện cũng là một hệ quả tự nhiên, khi các cháu được độc lập trong cuộc sống thì cũng tự tin hơn và có nhiều cơ hội để phát triển khả năng tư duy độc lâp.

2) Thật ra, cách mà họ làm là như thế nào? (Không nhồi nhét, không áp đặt? Thường xuyên tạo cơ hội cho trẻ bày tỏ ý kiến?.v.v..)

Trả lời: Đây đúng là một phần quan trọng. Một sự khác biệt cụ thể là họ cố gắng nói chuyện với trẻ con như với người lớn. Cô giáo luôn nói cả câu đầy đủ và  nói chậm rãi, nhấn từng chữ để các cháu dễ hiểu. Việc này bố mẹ cũng có thể làm, nhưng nó đòi hỏi sự kiên nhẫn lớn. Điều này có rất nhiều lợi ích: các cháu học ngôn ngữ nhanh và chuẩn hơn, và cũng tự tin hơn vì được đôi xử như người lớn từ cách nói chuyện. Đây là điều tôi cũng phải rút kinh nghiệm cho bản thân khi nói chuyện với con, vì không lớn lên trong môi trường như vậy.

Thay vì việc áp đặt thì họ hay cho các cháu những lựa chọn, nghe có vẻ dân chủ nhưng tất nhiên là vẫn trong khuôn khổ. Ví dụ: “hôm nay con muốn đổ rác hay rửa bát?”. Tất nhiên là có lựa chọn bao giờ các cháu cũng thích hơn!

Một điểm quan trọng nữa là họ dạy con rất thực tế, luôn tranh thủ trang bị cho các cháu kỹ năng cần thiết từ các việc nhỏ. Ví dụ có người tôi biết, họ yêu cầu con họ nếu muốn bố mẹ mua một cái gì thì phải làm một bài thuyết trình trước cả nhà về những lí do tại sao. Hồi bé thì nói vo, sau họ trang bị cả máy chiếu lên tường để con  trình bày. Được dạy như vậy từ bé thì các cháu sẽ có nhiều lợi thế: khả năng hùng biện, suy nghĩ độc lập, biết cách tranh luận quyết liệt nhưng không thô bạo.

Cần nói thêm là vài ý trên cũng minh họa sự phân hóa về giáo dục:  những gia đình có điều kiện về kiến thức, thời gian và vật chất (thật ra vật chất không quan trọng bằng hai cái đầu), sẽ đảm bảo con họ có rất nhiều kỹ năng có ích cho cuộc sống và công việc sau này từ bé. Các thầy cô giáo ở những trường tốt, phải dạy ít trẻ con lại toàn các cháu đã được huấn luyện cẩn thận ở nhà,  và trong môi trường vật chất thoải mái, đương nhiên sẽ  kiên nhẫn hơn nhiều.

3) Để giới trẻ VN tự tin hơn, tư duy phản biện tốt hơn, thì mỗi thầy cô của các em có thể làm điều đó giúp các em không, hay phải cần đợi đến khi cải tổ được cả hệ thống giáo dục hay chính trị?

Trả lời: Như đã trình bày ở trên, nếu có sự phối hợp tốt giữa gia đình và nhà trường thì trên lý thuyết hoàn toàn có thể làm được. Nhưng cũng như đã trình bày, để làm được những điều đơn giản như trên không dễ, ngay cả với nhiều bố mẹ Mỹ. Chẳng hạn nếu cả hai bố mẹ đều phải đi làm vất vả cả ngày thì đương nhiên sẽ khó có thời gian, năng lượng và độ kiên nhẫn để dạy con. Dù sao đi nữa thì những thói quen tốt trong dạy con là có thể bắt chước được, và cũng không quá tốn kém, nếu bố mẹ và thầy cô thực sự có tâm huyết và chịu khó tìm hiểu. Việc dạy con có lẽ bắt đầu với việc dạy bản thân mình!

Cô gái bán hoa và nhà Toán học (hay, kỹ năng mềm của các giáo sư)

RITES

Bài viết này nhằm chỉnh lại một quan niệm khá phổ biến rằng những người học/làm Toán (hay rộng ra là khoa học cơ bản) thường thiếu kỹ năng mềm hay kiến thức thực tế. Bản thân tôi có thỉnh thoảng tranh luận với người Việt, khi đuối lý họ thường nói đại ý: “Giáo sư ơi, đời thường không giống với lý thuyết Toán đâu!”.

Mà không chỉ người Việt, người Mỹ cũng rất định kiến về Toán. Đến mức khi nói chuyện trong các buổi tiệc, liên hoan, khi biết bạn làm Toán, câu cửa miệng của họ thường là: “Hồi xưa đi học tôi thảm hại về Toán” (I sucked at math in schools), như một niềm tự hào! Có một câu chuyện vui như sau, mà tôi nghe được từ một đồng nghiệp trẻ thanh lịch, anh này khi đó đang làm nghiên cứu sau tiến sĩ ở MIT:

Một nhà Toán học gặp một cô gái rất quyến rũ trong một dạ tiệc. Sau vài câu xã giao thông thường, cô gái hỏi nghề nghiêp của chàng. Khi được biết chàng làm Toán, cô nói như thường lệ:

-Toán à, hồi xưa tôi thảm hại về môn đó!

-Vậy nghề của cô là gì?

-Tôi làm người khác hạnh phúc bằng tình dục!

Nhà toán học nghĩ một lúc, rồi bảo:

– Hồi đi học tôi cũng thảm hại về môn đó!

Giống như các câu chuyện của người làm Toán, chuyện này có nhiều ẩn ý nhân văn, như việc nhìn nhận công bằng hơn với nghề mại dâm. Nhưng với chủ đề bài này, tôi muốn nhấn mạnh là nhà Toán học của chúng ta thể hiện một kỹ năng mềm rất tinh tế, nhất là với người khác giới: thiết lập sự đồng cảm cùng người đối thoại ngay từ đầu, ngay cả khi họ có phần thô lỗ với mình!

Vậy sự thật nằm ở đâu? Cũng như nhiều huyền thoại đường phố khác, định kiến về sự ngây ngô của người làm Toán có một phần bắt nguồn từ thực tế. Học Toán đòi hỏi niềm đam mê và độ tập trung lâu dài, nên tất nhiên nó choán nhiều thời gian cho sự phát triển các kỹ năng  khác, nhất là thời trẻ.  Một số trường hợp cực đoan mà người ta thường nhắc tới là  Alexander Grothendieck hay Grigori Perelman. Họ đều được công nhận là những nhà Toán học thiên tài mà sự nghiệp bị ảnh hưởng nghiêm trọng vì sống quá cứng nhắc và thiếu “kỹ năng mềm”!

Tuy nhiên nếu xem xét kỹ, thì nhận định trên là tương đối cảm tính và không đúng trong phần lớn trường hợp. Dưới đây tôi xin liệt kê một số phản ví dụ, cũng để giúp bạn đọc hiểu thêm về cuộc sống của giới hàn lâm:

1) Văn hóa nghiên cứu/dạy Toán là văn hóa rất mở. Điều này thoạt nghe vô lý nhưng thực sự  là vậy.  Khi giải quyết một vấn đề khó, các nhà Toán học thường xuyên phải học về những kiến thức mới mà trong đó họ chỉ là người tập sự so với các chuyên gia.  Ngay cả trong lĩnh vực của mình, thì chuyện các học trò có cách nhìn mới mẻ hơn thầy là rất bình thường. Vì thế môi trường nghiên cứu Toán khá bình đẳng, và ai cũng phải chấp nhận là mình có thể sai hay không hiểu rõ vấn đề bằng người đối thoại.

Một ví dụ: ngay cả khi dạy học cho sinh viên mới, nếu tôi có lỡ viết sai công  thức trên bảng, và một cậu học trò lấc cấc hét lên “Sai rồi!”. Thì phản ứng của tôi chỉ có thể là cười nhã nhặn và nói “Cậu nói đúng, chắc sáng nay tôi quên uống cafe!” (bạo hơn và thân thiết với trò hơn thì có thể nói “Sáng nay nội tiết của tôi hơi rối loạn!”). Lắng nghe và cảm thông với người đối thoại, dù cách họ trình bày có chướng tai,  là một kỹ năng mềm quan trọng.

Quan sát kỹ trên mạng hay báo chí thì thấy, nhiều người cổ động cho học kỹ năng mềm, hay thích tranh luận về những chủ đề “mềm mại”  lại thường khá cứng nhắc và bảo thủ trong cách nghĩ và tranh luận. Điều này cũng không khó hiểu. Khi nói chuyện về những chủ đề mơ hồ khó định tính, thì phân biệt đúng sai là gần như không thể. Nên những chuyên gia về các chủ đề này có thể đi qua cả cuộc đời hay sự nghiệp mà không phải băn khoăn là mình có thể sai, chứ chưa nói là sai thật!

2) Hệ thống đại học hiện đại, ít nhất là ở Mỹ và các nước theo hệ thống của nước này, ngày càng được vận hành như các công ty. Muốn tồn tại và phát triển trong hệ thống này đòi hỏi nhiều kỹ năng mềm. Luôn có sự cạnh tranh lớn cho những việc hàng ngày, từ chế độ đãi ngộ đến lôi kéo học trò giỏi, giúp sinh viên tìm việc,  hay thuê những đồng nghiệp trẻ để xây dựng nhóm nghiên cứu. Một người Mỹ khá nổi tiếng với Việt Nam là Henry Kissinger, xuất thân hàn lâm nhưng sau này trở thành một chính trị gia rất cơ hội, được cho là đã nói: “Những cuộc tranh đấu trong hàn lâm bao giờ cũng rất gay gắt, vì miếng mồi quá nhỏ bé!” (“Academic politics are so vicious precisely because the stakes are so small.”). Câu này tất nhiên có ý mỉa mai, nhưng cũng phản ánh một phần sự thật.

3) Nhiều người đam mê khoa học thường có tính tò mò bẩm sinh và mãnh liệt. Thật ra đây gần như là một điều kiện cần để theo đuổi sự nghiệp khoa học lâu dài. Cùng với các kỹ năng nghiên cứu được tôi luyện và khả năng tập trung cao, họ thường nhảy vào các lĩnh vực mới không quá khó khăn nếu thích. Khi tiếp xúc với đồng nghiệp tôi thường ngỡ ngàng trước những năng lực đa dạng của họ: từ âm nhạc hội họa văn chương, đến thể thao mạo hiểm. Có một đồng tác giả của giáo sư Ngô Bảo Châu còn đạo diễn và đóng phim cấp 2 rưỡi khá thành công!

Một giáo sư nổi tiếng người Việt, đang khá thân mật với diễn viên phim cấp 2.5!
Một giáo sư Việt nổi tiếng, đang khá thân mật với diễn viên phim cấp 2.718…!

4) Nghiên cứu khoa học ngày càng trở thành một hoạt động rộng trên toàn cầu. Nếu như cách đây 50 năm, các nghiên cứu chủ đề khoa học phức tạp thường chỉ diễn ra ở những trung tâm nổi tiếng, thì nay việc nghiên cứu những chủ đề này đã lan tỏa rất rộng, đến cả những đại học ở thế giới thứ ba. Một phần lớn thời gian của các giáo sư Toán hiện đại được dành cho việc duy trì và phát triển một hệ thống cộng tác viên khắp thế giới. Tất nhiên, điều này đòi hỏi kỹ năng mềm (tuy trước hết vẫn phải có kỹ năng “cứng”, tức là khả năng nghiên cứu khoa học). Chưa kể, việc đi chu du khắp thế giới cũng cung cấp nhiều kinh nghiệm sống quí báu.

Một giáo sư Việt nổi tiếng khác, đang say mê tìm hiểu cuộc sống ở Zurich.
Một giáo sư Việt nổi tiếng khác, đang say mê tìm hiểu cuộc sống ở Zurich.

Và có lẽ, để kết thúc bài viết này  một cách thích hợp, chúng ta hãy nhìn nhận một trong những thông điệp ẩn giấu trong câu chuyện tôi kể ở phần mở đầu: muốn mang lại niềm vui cho cuộc đời, dù cách này hay cách khác, đều rất cần kỹ năng mềm!

Những vấn đề của giáo dục Mỹ, phần 1

Ngày càng nhiều sinh viên Mỹ sang tị nạn giáo dục ở Đức. Nước này vừa bỏ toàn bộ học phí đại học. Trong khi đi học ở Mỹ ngày càng tốn kém, đến mức có người cho  rằng các khoản nợ đại học khổng lồ có thể gây ra một đợt khủng hoảng kinh tế mới, giống như các khoản nợ mua nhà cách đây vài năm! Tất nhiên nghiêm trọng đến đâu là chủ đề phải tranh cãi nhiều, nhưng vấn đề là có thật, tổng số nợ của sinh viên đã lên tới hơn 1000 tỷ USD, chưa kể các tác dụng phụ khác.

Phần 2, với nhiều tranh luận nảy lửa, có thể xem ở đây!

Thăm mộ cụ Ike

(ý tưởng nẩy ra từ khi đọc và bình luận trên note “Cụ Giáp” của anh Phùng Hồ Hải , nhân dịp cả nhà đi chơi qua mộ cụ Ike)

“Tính khiêm nhường là đặc tính tối quan trọng với bất cứ người đàn ông nào từng đạt được vinh quang từ xương máu của thuộc cấp và sự hi sinh của đồng đội”

Đây là phát biểu của ông Dwight Eisenhower với tư cách đại tướng của bên thắng trận, khi Thế chiến thứ 2 vừa kết thúc, cũng là câu nói được khắc ở ngay trên mộ của ông. Có lẽ trong thế kỷ 20 khó có người đàn ông nào có công nghiệp lẫy lừng và cuộc đời toàn vẹn như ông. Xuất thân từ một gia đình rất bình thường ở một thị trấn nghèo tiểu bang Kansas, ông đã trở thành tổng chỉ huy quân Đồng minh ở chiến trường Bắc Phi, rồi chiến trường châu Âu, tổng tư lệnh tối cao đầu tiên của NATO, và tổng thống Mỹ trong hai nhiệm kỳ. Thời kỳ kém huy hoàng nhất của ông có lẽ là thời làm hiệu trưởng đại học Columbia, một trong những đại học danh tiếng nhất ở Mỹ. Với thành tích rực rỡ như vậy nên nhân dân thường trìu mến gọi ông là Võ Nguyên Giáp của Mỹ!

Đùa chút, nhân dân Mỹ thường gọi ông là Ike, biệt danh của ông từ thủa thiếu thời. Cũng như ông Giáp, ông Ike cũng thỉnh thoảng bị bọn phản động dè bỉu là “tướng văn phòng”. Quả thật, ông đi lên nhờ tài quản lý và tổ chức, chưa kể ông chưa từng trực tiếp tham gia chiến đấu hay cầm quân trên chiến trường trước thế chiến 2!

Tuy nhiên ông đã thật sự chiếm được cảm tình của quân đội và chính phủ cũng như đồng minh nhờ tài ngoại giao khéo léo, khả năng tổ chức tài tình, và nhất là được tiếng tiết kiệm xương máu của binh lính. Chẳng hạn ông đã cương quyết từ chối thúc quân tiến nhanh đến Berlin bất chấp sức ép của Churchill. Trong khi cầm quân ông rất chịu khó ra chiến trường, theo thống kê ông đã đến thăm tất cả các sư đoàn dưới quyền mình. Ngay sau khi thắng cử tổng thống ông cũng đã trực tiếp thị sát chiến trường Triều Tiên, và đã góp phần quyết định chấm dứt cuộc chiến đẫm máu này sau khi nhậm chức nửa năm.

Không có gì đáng ngạc nhiên khi Ike đã chiến thắng áp đảo trong cả hai cuộc bầu cử Tổng thống, với 442/457 trên 531 phiếu đại cử tri. Cũng phải kể đến một quyết định rất dũng cảm của ông trong thời kỳ này là đưa quân đội Liên bang đến bảo vệ các học sinh da đen được nhập học an toàn ở Arkansas, tạo tiền đề cho việc xóa bỏ nạn phân biệt chủng tộc lúc đó còn rất dã man ở Mỹ.

Sau khi nghỉ hưu, ông Ike về sống trong trang trại với vợ, một phụ nữ cũng nổi tiếng giản dị, đến mức keo kiệt. Khi chết, gia đình yêu cầu cho ông một chiếc quan tài loại thông dụng cho tất cả binh lính của Mỹ, với giá 80 đô la (khoảng 10 triệu đồng VN thời điểm hiện tại).

Tháng 5 vừa rồi, tình cờ phát hiện ra là khu mộ của ông Ike chỉ cách nhà hơn 1 tiếng, lại nằm trên đường đi nghỉ mát nên cả nhà dừng lại chơi. Khu mộ và thư viện của ông rất giản dị, ai cũng có thể vào. Hôm nhà mình vào chỉ có vài người khách nữa đến tham quan (có thể xem ảnh đính kèm).

Xin được kết thúc bài này bằng một câu nói nổi tiếng nữa của ông, trong diễn văn lần đầu nhậm chức:

“Một dân tộc mà đặt quyền lợi lên trên nguyên tắc, sớm muộn sẽ mất cả hai!”

Đại số hiện đại và Khoa học máy tính.

(Viết theo yêu cầu của một người quen. Tác giả không phải là chuyên gia về Khoa học máy tính, mà nghiên cứu về Đại số. Bài viết này cố gắng giải thích vài liên hệ gần đây giữa hai ngành này cho độc giả không có, hay đã quên kiến thức cơ bản về Toán hay máy tính. Có nhiều dẫn chứng trực tiếp, ai quan tâm xin bấm vào để tìm hiểu thêm)

Giữa Toán học và Khoa học máy tính luôn có sự gần gũi. Chẳng hạn như  trong toán ứng dụng phải dùng rất nhiều tính toán nặng bằng máy tính và các ngôn ngữ lập trình đặc thù. Bài viết này muốn đề cập đến một số những liên hệ khác, hiện đại hơn và có vẻ vẫn còn chưa được biết đến rộng rãi với độc giả Việt Nam. Điều thú vị ở đây là những liên hệ này kết nối Khoa học máy tính với những khái niệm khá trừu tượng của Toán cao cấp!

1) Phần mềm phục vụ nghiên cứu trừu tượng:

Gần đây có rất nhiều phần mềm kiểu này được phát triển: Macaulay 2, Cocoa, Magma, SAGE, v.v. Đặc điểm của chúng là cho phép người dùng có thể lập trình với những khái niệm cơ bản của đại số/hình học/số học hiện đại: nhóm, vành, trường, đa tạp đại số. Sự tồn tại của chúng đã đưa đến rất nhiều tiện ích cho các chuyên gia trong những lĩnh vực này. Một ví dụ đơn giản mà tôi cũng hay dùng: nếu như trong nghiên cứu bạn đối mặt với một giả thuyết có vẻ “5 phần đúng, 5 phần sai”. Bạn có thể lập một chương trình đơn giản để kiểm tra giả thuyết này trên vài trăm hay vài nghìn ví dụ ngẫu nhiên. Nếu như tất cả đều đúng thì bạn có thể yên tâm hơn khi tìm cách chứng minh giả thuyết này. Còn nếu sai thì yên tâm đi tìm giả thuyết khác! Ngoài ra các số liệu thu được cũng giúp bạn có thể nhìn ra những giả thuyết chính xác hơn.

Phương pháp này rất được ưa chuộng bởi David Eisenbud, một nhà toán học lý thuyết tên tuổi người Mỹ. Ông này giỏi ở chỗ khi làm quản lý rất nặng (hội trưởng hội toán học Mỹ, viện trưởng viện nghiên cứu Toán ở Berkeley), vẫn làm Toán và còn hăng hơn hồi trẻ! Ông chia sẻ với tôi kinh nghiệm này và nói nó đã giúp ông tiết kiệm nhiều thời gian trong nghiên cứu. Một điều thú vị là ông David còn là người rất biết hưởng thụ cuộc sống, làm việc với ông luôn có những khoảng giải lao hấp dẫn: ăn ngon, leo núi, xem kịch, v.v.

Ông David mải mê lập trình với Macaulay 2!
Ông Eisenbud mải mê lập trình với Macaulay 2 trong vườn nhà!

2) Máy tính hóa chứng minh Toán học:

Đây là mơ ước của khá nhiều nhà Toán học tầm cỡ. Các chứng minh của Toán cao cấp ngày càng phức tạp và dựa trên nhiều tầng các kết quả sẵn có. Làm sao bảo đảm chúng không có lỗ hổng? Một giải pháp là tìm cách mã hóa các bước logic của chứng minh Toán, rồi đưa vào máy tính để kiểm tra độ chính xác. Nói thì nghe đơn giản chứ tất nhiên làm rất khó. Việc đầu tiên là phải xây dựng được một hệ ngôn ngữ đủ để mô tả các hệ thống logic trong chứng minh toán học. Để làm điều này thì trước tiên người làm phải là những nhà toán học hàng đầu, có thể nhìn bao quát các chứng minh rất đa dạng và tìm được điểm chung của chúng ở tầm cơ bản nhất. Ngay cả với điều kiện đủ đó, nói chung phần lớn vẫn nghi ngờ việc này có thể được hiện thực hóa trong một tương lai gần. Trong sự nghi ngờ này cũng có nỗi lo mơ hồ rằng các nhà Toán học đang tự giết mình trong sự đam mê theo đuổi chân lý, nếu như có ngày họ để máy tính thay thế mình!

Một vài ví dụ gần đây: Voevodskyunivalent foundations. Công trình này  sử dụng lý thuyết đồng luân cao cấp, một công cụ ngày càng có tầm ảnh hưởng lớn trong tô pô và hình học đại số.  Ngoài ra cũng rất nên kể đến việc  Gowers dạy máy tính viết chứng minh đơn giản (hai ông Voevodsky và Gowers đều được giải thưởng Fields),  Thomas Halesnỗ lực kiểm tra chứng minh giả thuyết Kepler. Mỗi ví dụ này đều rất thú vị và có thể làm cơ sở để viết được một bài báo dài.

3) Lý thuyết độ phức tạp và hình học đại số:

Để hiểu vấn đề này có thể dùng một ví dụ rất đơn giản chứ không phức tạp!  Xét biểu thức x^2-y^2. Ai đã học cấp 2 đều biết nó có thể viết được dưới dạng (x+y)(x-y). Nếu dùng cách đầu để tính toán thì ta mất 2 phép nhân và 1 phép cộng/trừ. Nếu dùng cách sau thì mất 1 phép nhân nhưng 2 phép cộng/trừ. Sự khác nhau là ở chỗ làm phép nhân tốn kém bộ nhớ máy tính hơn cộng/trừ rất nhiều, nhất là cho các số lớn. Vì vậy vấn đề đặt ra là làm thế nào để hiểu chính xác độ phức tạp của các biểu thức toán học, hay rộng ra là các thuật toán.

Lý thuyết này phát triển rất mạnh những năm gần đây. Đến mức, để đo độ phức tạp của thuật toán người ta phải lập ra cả một vườn bách thú phân loại các cường độ phức tạp khác nhau (complexity zoo)! Có lẽ nhiều người đã nghe nói đến giả thuyết “P và NP” nổi tiếng, một trong những bài toán triệu đô. Hiểu nôm na, bài toán này hỏi xem hai con thú trông khác nhau trong cái vườn thú ở trên thật ra có cùng nhóm không? Đến nay nó  vẫn có vẻ ngoài tầm với, mặc dù cứ vài năm lại có người công bố đã hoặc sắp giải được! Một chuyên gia hàng đầu về lĩnh vực này là Scott Aaronson. Anh này còn có một blog cực kỳ nerdy (có lẽ tiếng Việt dịch là đầu to mắt cận) về nhiều chủ đề thú vị, như làm thế nào chống lại cơn cuồng nộ bầy đàn trên mạng, mà anh đã từng là nạn nhân khi dám bình luận về chủ đề phụ nữ trên blog của mình (-:

Năm vừa rồi tôi tình cờ tham gia một hội thảo về liên hệ giữa ngành này và Hình học đại số.  Một điều lý thú  học được trong hội thảo là một hướng tấn công độc đáo cho vấn đề  “P và NP”.  Đó là tìm cách nghiên cứu độ phức tạp của permanent của các ma trận (hình như tiếng Việt gọi là vĩnh thức, tương tự như  định thức nhưng chỉ dùng dấu cộng giữa các số hạng). Tất nhiên là triển vọng thắng lợi của tiếp cận này vẫn rất mờ mịt, nhưng như thường lệ với các bài toán quan trọng, nó gợi ra những câu hỏi lý thuyết thuần túy rất thú vị.  Ví dụ, liệu chúng ta có thể viết được permanent của một ma trận dưới dạng định thức của một ma trận khác hay không?  (bổ xung: vừa đúng lúc có bài của GS Ngô Quang Hưng về vĩnh thức, có đề cập đến vấn đề này, cảm ơn bạn Phan Dương Hiệu đã cho link!)

Permanent
Một bài giảng về permanent và lý thuyết độ phức tạp.

4) Lý thuyết mật mã và đường cong elliptic:

Đây lại là một liên hệ mới nghe thì rất kỳ lạ nhưng thật ra không đến nỗi khó hiểu. Việc mã hóa thông tin công khai hiển nhiên có tầm quan trọng cực lớn với đời sống hiện đại, ngay cả với mỗi lần bạn gửi email. Trong một bài giảng cho đại chúng gần đây (đối tượng là các cựu sinh viên già có đóng góp cho trường), tôi có so sánh việc mã hóa với làm xúc xích: bạn muốn đảm bảo rằng người lạ có ăn xúc xích và nhìn được vào máy sản xuất của  bạn vẫn không thể nói được bạn dùng loại thịt gì!  Vấn đề tế nhị ở đây là làm sao người nhà bạn vẫn phân biệt được nguồn gốc thịt!

Và đây là thời điểm các phương trình đại số vào cuộc: chúng chính là những máy nghiền thịt hiệu quả nhất. Chẳng hạn xét đa thức f(x) = 4x^3-3x, coi như một cái máy. Bạn có thể nhét miếng thịt x=2 vào máy, để ra miếng xúc xích f(2) = 26. Việc này rất dễ. Tuy nhiên nếu chỉ nhìn vào miếng xúc xích 26, và cái máy f(x), thì đoán được giá trị của x khó hơn nhiều.

Một đường cong elliptic được biểu diễn bởi một phương trình bậc 3 với 2 ẩn số, chẳng hạn y^2=x^3-x-1. Chúng rất nổi tiếng vì nhiều nguyên nhân, trong đó có thể kể đến vai trò quan trọng trong lời giải bài toán Fermat, một công trình thuộc loại vĩ đại nhất của thế kỷ 20. Câu hỏi  là tại sao các đường cong elliptic lại liên quan đến mã hóa? Câu trả lời ngắn gọn là việc giải phương trình, ngay cả phương trình đơn giản, trên những đường cong này có độ phức tạp cao, ngay cả khi bạn rất giỏi Toán và sở hữu một chiếc máy tính mạnh hơn tất cả các loại máy hiện thời.  Vì thế chúng là những máy làm xúc xích rất hiệu quả!

Chúng ta có thể hiểu một phần tại sao giải toán trên những môi trường “lạ” lại khó hơn thông qua một ví dụ đời thường: cái đồng hồ. Khi làm toán trên đồng hồ chúng ta chỉ dùng những số từ 1 đến 12. Nhưng phải nhớ rằng 12=0, vì sau 12 tiếng cái đồng hồ lại trở lại vị trí cũ! Hãy thử giải phương trình rất tầm thường 2x=2 trên môi trường này. Ngoài nghiệm hiển nhiên x=1, chúng ta còn có nghiệm x=7 nữa (vì 2\times 7=14=12+2=2). Thật vậy, nếu bắt đầu từ 7 giờ, cộng thêm 7 tiếng nữa kim của đồng hồ bạn sẽ dừng ở số 2!

Giải toán trên đồng hồ khó hơn giải toán bình thường!
Giải toán trên đường cong đồng hồ khó hơn giải toán bình thường!

5) Tóm tắt:

Bài viết cố gắng giới thiệu vài liên hệ thú vị giữa đại số hiện đại và khoa học máy tính mà tác giả có điều kiện quan sát. Dĩ nhiên còn khá nhiều chủ đề hấp dẫn, như  việc mô phỏng logic bằng lý thuyết phạm trù (của một đồng nghiệp trẻ người Úc) mà bài viết ngắn này không đủ không gian để mô tả.

Logic và lý thuyết phạm trù!
Logic và lý thuyết phạm trù!